SPHER

LA SYMETRIE CELLULAIRE

LA DIMENSION TROIS

La symétrie cellulaire peut s'appliquer facilement à trois dimensions avec un ensemble générateur constitué de plans. Simplement, pour chaque plan, il faut deux paramètres angulaires. Les cellules sont alors des polyèdres et les parois des plans.

L'algorithme de calcul est à peu prés le même, en prenant comme champ un "sandwich" de feuilles colorées.

Il est facile de représenter une coupe de cet ensemble comme les images planes précédentes. A gauche les modes cloisons (noires) et ordre sont superposés, à droite le mode image d'un même ensemble. La symétrie parfaite n'apparaît plus car elle a lieu dans l'espace 3D et l'obliquité de certains plans se traduit, sur la coupe, par l'élargissement de leur trace (les cloisons) et de celle des feuilles colorées. L'enchaînement de ces coupes permet de réaliser une animation.

Pour une modélisation 3D, il convient d'utiliser comme source un volume: le plus simple est une bille sphérique. Elle est multipliée par la symétrie cellulaire et l'ensemble généré est un (ou plusieurs) agrégat(s) de cellules (au sens biologique du terme). On doit calculer pour chaque point de cet objet non seulement ses coordonnées mais aussi l'orientation de la normale qui déterminera l'éclairement.

En voici quelques exemples: (l'image de droite est obtenue avec une bille coloriée)

Le même objet peut être représenté sous différentes orientations. L'animation par images successives permet de nombreuses variantes: rotation, déplacement dans des agrégats multiples, modification continue des paramètres qui simule une évolution quasi vivante de cet objet virtuel.

LA SPHERE

La sphère constitue un cas particulier (et particulièrement intéressant)...

En effet, si tous les plans générateurs passent par le centre (distance nulle), le symétrique d'un point de la sphère par rapport à chaque plan est aussi sur la sphère et tout se passe comme si il y avait symétrie par rapport au grand cercle de la section par ce plan. Les paramètres de ces plans seront encore des valeurs aléatoires soumises à certaines contraintes (voir note).

Le mécanisme du calcul est le même que précédemment et aboutit à une "peinture" sur la totalité de la surface sphérique. En effet, par rotation des coordonnées d'un angle "pi" on obtient l'autre hémisphère.

Il n'y a évidement plus de secteurs marginaux comme dans le plan: il y a une sorte de confinement des cellules, ce qui entraîne une plus grande complexité structurale.

Voici le résultat, avec une dizaine de plans, dans les trois modes: parois, ordre et image. C'est évidement la projection de la sphère sur l'écran qui est examinée. Cette projection peut être calculée pour différentes orientations angulaires de la sphère. Voici quelques exemples des IMAGES obtenues avec une centaine de plans:

Il est possible de leur ajouter un effet supplémentaire en limitant un des paramètres angulaires des plans générateurs a des fractions entières de "2 pi". Le résultat est un pavage surprenant de la sphère par des polygones: carrés, triangles, pentagones etc.. Quelques chaînes de figures différentes viennent automatiquement ajuster cet ensemble à la surface sphérique. Sur des cellules relativement grandes (donc un petit nombre de plans), le "bouquet de fleurs" dans le CHAMP décorera la sphère de guirlandes...

Deux images, calculées pour des orientations légèrement différentes, et juxtaposées réalisent un couple stéréoscopique.

Par un traitement simple des images, on obtiendra de jolies billes décorées:

Une rotation par images successives ajoute un attrait supplémentaire: en temps réel il faut se limiter à une faible définition, mais par enregistrement de ces images il est facile de réaliser une animation.

Pour examiner les détails il est loisible d'agrandir une partie de la surface en appliquant une projection de Mercator. (voir aussi la galerie SC-SPH) et, en HD, la galerie HD-SPH)

Le défilement selon un grand cercle devient alors possible et permet de survoler indéfiniment la surface ou, en changeant instantanément les paramètres, d'enchaîner de nouvelles images. Ces dessins ne donnent qu'une faible idée de la profusion de formes qui surgissent alors dans ce programme interactif.

Enfin, une série d'images obtenues avec modification continue des paramètres, en montre l'évolution (ici cyclique).