Ce système est difficile à analyser plus profondément. Il se simplifie en prenant dt=360: cette "spirale élémentaire" est une NAPPE d'AXES parallèles dont les RAYONS sont en progression géométrique: d^0(=1), d^1(=d), d^2,...d^n,... auquel on ajoute dz=0 (AXE passant par le centre). Ces axes forment un système de bandes, version dégénérée des quadrilatères précédents. La SC va y ajouter des cloisons, elles aussi parallèles, multipliant les bandes (les cellules).

   En appelant CONTRAXE la perpendiculaire commune aux axes et passant par le centre, l'étude se limite à celle de leurs intersections, points auxquels s'applique la SC. Il en découle une suite géométrique "réfléchie" aux propriétés curieuses.

   Il faut distinguer deux cas selon que d est plus grand ou plus petit que 2:

A) d>2

   Ce cas est particulièrement simple: tous les points précédant d^n et leurs répliques par rapport à cet axe se trouvent sur le segment dz à 2 x d^n, qui est plus petit que d^(n+1)=d x d^n puisque d>2. L'espace restant forme une nouvelle bande bd(n+1) qui sera doublée, ainsi que les précédentes par symétrie sur d^(n+1). La largeur de la bande bd(n+1) est: d^(n+1)-2 x d^n, soit (d-2)^n: ces bandes sont en progression géométrique. Le système est constitué de ces bandes et de leurs répliques.

  La figure suivante en montre le début . On voit que les bandes symétriques par rapport aux axes d^n s'organisent en "paquets", de largeur croissante, et dont le milieu est constituédu doublet 2 x bd(n).

  Si, dans le segment dz à 2 x d^(n+1), on retire les deux bandes bd(n+1), il reste deux fois 2 x (d^n). Le rapport de ce reste au segment affecté est:

                   2 x 2 x d^n / 2 x d^(n+1) c'est à dire 2/d

   En retirant aussi sur les deux segments 2 x d^n, les bandes bd(n), ce rapport devient:(2/d)^2. De même sur les quatre segments 2x d^(n-1) entraîne (d/2)^3,etc... Comme 2/d est plus petit que un, le rapport tend vers zéro!... Il ne reste qu'une "poussière" de segments infiniment étroits.

   Le système est analogue à un ensemble de CANTOR. C'est un OBJET FRACTAL de dimension D=Log(2)/Log(d), inférieure à un.

B) d<2

   Ce cas est plus compliqué car d^(n+1) est plus petit que 2 x d^n. Les répliques des cloisons précédant d^n dépasseraient d^(n+1). La bande bd(n+1) ne sera qu'une partie de celle située à d^n-d^(n+1) de d^n. Il faudra identifier celle-ci par recensement direct pour calculer la nouvelle bande.

   Par conséquent il n'y a plus de formule générale donnant leurs largeurs en fonction de i. Leur progression présente au contraire un caractère "turbulent". De plus elles ne peuvent être supérieure à la plus grande des précédentes soit: bd(1)=(d-1).

  Le système n'est plus un objet fractal mais présente néanmoins un certaine régularité due aux symétries. Il est beaucoup plus varié que dans le cas précédent.

   Dans le cas particulier où d=racine de 2, on voit, et on peut vérifier les propriétés suivantes:

   - Toutes les bandes, sauf la première bd(1)=(d-1) sont alternativement égales à bd(2) = (d-1)^2 et bd(3)=d x ((d-1)^2).

   - Ces bandes s'organisent symétriquement aux axes en "paquets" de 1,2,4,8,... alternativement bd(2) et bd(3), séparés par une bandes bd(1).

DEUX NAPPES

   Le système suivant est très artificiel mais va se rapprocher des vraies spirales. Deux nappes d'axes parallèles de même CENTRE et dont les CONTRAXES (CXI et CXP) forment un angle, par exemple de 40 degrés. Les RAYONS de la première sont en progression: dz(=0), d^1(=d), d^3, d^5,... Pour la seconde nappe: d^0(=1),d^2,d^4,...

   La SC va produire des cellules localisées principalement dans l'angle de 40 degrés des contraxes. Si on se donne d=2 x cos(40) on remarque les propriétés suivantes:

   Pour n pair, l'axe d^n vient couper le contraxe CXI en 2 x d^(n-1)(=point A). Le symétrique du centre(=point O) par rapport à d^n est sur le contraxe CXP à l'intersection avec l'axe d^(n+1)(=point B).Les points O,A,B forment un triangle isocèle.

   Par symétrie sur d^(n+1) ce triangle donne le triangle O',A',B: le point B est commun au deux triangles. Le point O' est à l'intersection de d^(n+2) avec CXI et à 2 x d^(n+1) du centre. La longueur de la ligne brisée OABA'O' est 4 x OA, soit 4 x 2 x d^(n-1), celle du segment OO' est 2 x d^(n+1): le rapport OABA'O'/OO' est égal à (8 x d^(n-1))/(2 x d^(n+1)), soit 4/(d^2).

   Les symétries suivantes (et précédentes...) vont produire un enchaînement de ces lignes brisées. C'est la transformation par SC du contraxe CXI (qui est aussi la ligne d'ordonnée zéro du réseau coloré). On y reconnaît sur une variante de la courbe de VON KOCH. Sa dimension fractale est D = Log(4)/(2 x Log(d)). Avec d=2 x cos(40) on a D=1.6247.

   Cette construction n'est possible que si d^2 est plus grand que 2, et par conséquent le cosinus plus grand que (racine de 2)/2, donc l'angle plus petit que 45 degrés. Si l'angle est plus grand le résultat de la SC n'est plus une fractale mais un ensemble de triangles non connectés.

   Par contre avec un angle quelconque et d non lié au cosinus on peut explorer les d^2 plus petit que 2. En particulier le cas évoqué avec une nappe, d^2 = racine de 2, associé à un angle de 60 degrés produit dans l'IMAGE un amas de polygones très réguliers où la structure binaire: 1,1,2,2,4,4... apparaît de plusieurs façons.

   Le système est alors certainement plus compliqué à définir mathématiquement, peut-être comme des "fractales dégénérées". Mais les images fournies sont très intéressantes et c'est la l'essentiel: on peut de ce point de vue les qualifier de "superfractales"...