PRINCIP

LA SYMETRIE CELLULAIRE

Nous venons de voir la symétrie se manifester sur un lac de montagne...

Pour étudier la symétrie, il est plus commode d'utiliser un CHAMP de bandes colorées et d'y poser verticalement un miroir: son bord vient en D1 qui sera AXE de symétrie.

Par réflexion, les bandes se continuent au delà de D1 mais en changeant de direction: la figure est constituée de deux secteurs, le CHAMP d'origine et son symétrique par rapport à l'axe D1.

Dans le monde virtuel nous pouvons poser un second miroir ( AXE D2) sur l'image précédente: on obtient alors quatre secteurs dont un est le CHAMP d'origine et un autre (opposé par le sommet) a subi deux symétries (l'ordre des opérations est important: l'image serait tout autre en inversant D1 et D2). Il est facile de simuler cet effet en programmation par un algorithme très simple (c'est bien sûr ainsi que la figure a été obtenue: voir note).

Il faut remarquer une différence essentielle avec des miroirs réels: le miroir D2 ne réfléchit que D1 et ses deux secteurs. Alors que, dans le kaléidoscope par exemple, on aurait aussi réflexion de D2 dans D1.

En réitérant cette procédure avec un troisième axe D3, fermant l'angle des deux premiers, on obtient QUATRE secteurs marginaux et la première SYMÉTRIE CELLULAIRE: les CELLULE A, reste du CHAMP primitif, et B qui lui est symétrique.

Le point noir (dans la cellule A) est le CENTRE du système: 1) Il identifie la "face réfléchissante" de tous les axes, par conséquent le côté qui sera réfléchi. 2) Il permet de définir chaque AXE par son RAYON, c'est à dire sa distance au centre, son ANGLE avec une direction de référence (généralement l'horizontale), et son INDICE (indiquant dans quel ordre ils agissent)..

Remarquons que chaque symétrie DOUBLE une moitié de l'image précédente et SUPPRIME l'autre moitié. Ce processus de SELECTION / ELIMINATION entraîne les propriétés spécifiques des résultats de la symétrie cellulaire (SC).

Les lignes noires sont les CLOISONS des cellules. Elles représentent ce qui subsiste des AXES précédents et de leurs REPLIQUES par symétrie. Ces lignes vont constituer un réseau qui est le squelette de la SC. Elles constituent un graphe très particulier: chaque noeud est symétrique et comporte quatre branches: = "signe de la paix".

Cela apparaît mieux avec une dizaine d'axes (à gauche avec leurs indices), après application de la SC (à droite). Ces axes on tété tirés au hasard, sauf le dernier, vertical, pour la présentation.

Pour remplir les cellules il existe de multiples possibilités, donnant des images plus ou moins attrayantes. Dans l'IMAGE de gauche, les cellules sont coloriées par les bandes de couleur et leurs répliques. On peut appeler SOURCE le fragment du CHAMP impliqué, au voisinage du CENTRE (a peine une dizaine de fois la cellule centrale).

Le mode IMAGE par bandes colorées est particulièrement simple car, dans le CHAMP, la couleur des points est fonction de leur leur ordonnée. Dans l'IMAGE de droite on a utilisé comme CHAMP des cercles colorés, dont on remarque bien les répliques. (A la périphérie du motif central, les secteurs marginaux sont en général sans intérêt.)

Si l'ordonnée des points du CHAMP est considérée comme une altitude, celui-ci est un plan incliné et on peut en calculer l'éclairement et celui de ses répliques par une lumière oblique: Il en résulte une IMAGE de "BAS-RELIEF" donnant une impression de 3D, les cloisons semblant des arêtes ou des entailles (à gauche). On peut y ajouter une texture (au centre). Le même procédé avec des cercles produit un CHAMP "conique", d'où l'image résultante (à droite).

Le mode CLOISON peut aussi donner de belles images, avec des traits élargis et colorés en fonction de l'indice de l'axe dont il provient (à gauche). Les cellules peuvent aussi être coloriées en fonction de leur ORDRE, nombre de symétries qu'elles ont subi (au centre). Ou encore de leur PARITE et alors deux couleurs suffisent (à droite). Notons que, dans l'IMAGE, si cet ordre est pair le contenu de la cellule est égal à la partie centrale, sinon il lui est symétrique. Notons aussi que le contenu d'une cellule quelconque est symétrique de celui de toutes les cellules qui l'entourent et inversement. Ce n'est généralement pas le cas pour son contour.

Avec plusieurs dizaine d'axes le réseau devient plus complexe. Seul un fragment du réseau peut être représenté lisiblement, à une échelle convenable, dans la page .

L'ENSEMBLE GÉNÉRATEUR

L'origine de la symétrie cellulaire est donc un ensemble générateur constitué de droites définies par leurs paramètres (RAYON, ANGLE et INDICE)

Ces paramètres des droites de l'ensemble générateur peuvent être tout à fait quelconques ou soumis à des contraintes fonctions de leur indice. En particulier, pour les distances, il est bon de tempérer une distribution statistique uniforme par une certaine corrélation avec leur indice (i). Il faut noter en effet que certains axes peuvent être sans effet si ils sont à une distance plus grande que les suivants (ils seront d'ailleurs éliminés par le processus de symétrie cellulaire). Le RAYON D(i) sera donc une valeur aléatoire dans le domaine (zéro à i).

L'ENSEMBLE GENERE

Lorsque l'ensemble générateur contient quelques centaines de droites le réseau devient très serré. Sur la ligne suivante figurent les images dans les trois modes (IMAGE, CLOISONS et BAS RELIEF) issues du même ensemble générateur:

Voici un autre exemple:

D'autres exemples sont dans la galerie SC-PLA

Notons qu'il n'est plus possible de représenter tout l'ensemble généré lisiblement sur l'écran. Il faut déplacer l'image pour en voir les détails. Il est possible aussi de la faire défiler automatiquement pour survoler l'ensemble.

Les images produites présentent un enchaînement de motifs binaires répétitifs et à la fois très variés. La symétrie cellulaire transforme donc l'ensemble chaotique des axes aléatoires en réseau extrêmement structuré. Les différents modes révèlent cette structure sous forme d'images attrayantes. Il se produit un pavage semi périodique du plan, une cascade binaire de plusieurs niveaux de hiérarchie ("super-cellules"), avec des combinaisons multiples.

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D'autres modes sont imaginables:

Par exemple avec une échelle telle que les mailles du réseau soient assez larges, on dispose dans la partie centrale du CHAMP (la SOURCE) un petit motif. Ses symétriques rempliront les cellules du réseau et produiront un enchaînement de guirlandes.

Le kaléidoscopeévoqué au début peut être simulé (ci-dessous). A un ensemble générateur de quelques dizaines d'axes (produisant un motif central) on en ajoute une série d'axes de rayons égaux et d'angles croissant de 120 degrés (donc confondus tous les trois pas). C'est le seul cas ou le graphe des parois présente des noeuds à six branches.(Avec des axes à 90 degrés on obtiendra un kaléidoscope de carrés.)

Enfin, en modifiant graduellement les paramètres de l'ensemble générateur, on obtiendra une série d'images évolutives constituant une animation.

REMARQUES

Soulignons que le processus de la SC est tout à fait élémentaire: il suffit de plier une feuille de papier plusieurs fois en croisant obliquement et autant que possible chaque pli avec les précédents. La marque des plis, sur le papier déplié, montrera le réseau des parois. En perçant le papier plié, à l'endroit le plus épais, de quatre petits trous en carré, on observera, après remise à plat, l'image par symétrie cellulaire de multiples petits carrés.

Il existe d'autres procédés mathématiques engendrant des cellules, en particulier les diagrammes de VORONOI. Leur utilisation est fort différente et leur définition plus compliquée. Les possibilités de coloration des cellules sont beaucoup plus limitées.