LA SYMÉTRIE CELLULAIRE

note****

LA FONCTION RACINE CARREE COMPLEXE

   Appliquée à un réseau quadrillé:

  Elle le transforme en un double réseau d'hyperboles équilatères.

   Comme chaque point a deux racines il faut ajouter le même réseau tourné de 180° dans le demi-plan négatif. Les figures suivantes décomposent artificiellement ce processus en deux stades pour le rendre plus intuitif.

premier stade                    deuxième stade

   A remarquer les points suivants : - les carrés restent approximativement des carrés mais de taille et d'orientation différente : il y a homothétie interne. - Le cercle de rayon 1 reste un cercle de rayon 1 (mais constitué en réalité de deux demi-cercles connectés). - Les pseudo-carrés sont dédoublés. Ils sont deux fois plus petits que leurs homologues primitifs au voisinage du cercle puis diminuent continûment vers l'extérieur. En réitérant cette transformation on double à nouveau le réseau d'hyperboles et les pseudo-carrés qui se rapprochent encore du cercle de rayon 1.

   En continuant ainsi n fois, on obtiendrait deux puissance n petits carrés, mais ils se confondent rapidement avec le cercle limite unité. Par contre, si entre chaque itération on déplace la figure d'une distance constante, le cercle se transforme en une (ou plusieurs) courbe compliquée mais fermée.

  Les points situés au départ à l'intérieur du cercle unité sont multipliés mais ils restent tous dans cette (ou ces) courbe fermée et se groupent en général sur cette limite. Pour certaines valeurs critiques du déplacement, certains restent cependant dans la zone centrale. Il s'ajoute en outre une particularité : deux points sont en effet leur propres transformés (points rouges): les autres sont entraînés autour d'eux, à chaque pas, dans des spirales d'allure exponentielle. Les amateurs d'images fractales reconnaîtront ici le comportement des ensemble de JULIA.