FRAC

LA SYMÉTRIE CELLULAIRE

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Il existe une fonction qui transforme les droites en hyperboles, mais préserve localement la forme des détails tout en modifiant leur taille et leur orientation (homothétie interne). C'est la fonction racine carrée dans le plan complexe, voisine de celle des fractales de JULIA.

Appliquée à une symétrie axiale elle transforme son axe en hyperbole et l'image s'adapte à ce pseudo-axe, produisant l'analogue d'une symétrie par rapport à une courbe!...(voir note)

En effectuant une symétrie sur cette nouvelle image, puis un déplacement on peut appliquer à nouveau cette transformation. Le nouvel axe devient une hyperbole et la précédente hyperbole une courbe plus complexe.

On peut obtenir l'analogue de la symétrie cellulaire par répétition de ce "paquet" de transformations (qui est une transformation...). Il existe en effet deux points fixes dans cette transformation, c'est à dire qu'ils sont leur propre transformé (points rouges). Dans certains cas, la série des pseudo-axes successifs va s'enrouler autour de ces points comme une spirale logarithmique et croiser les précédents, provoquant un enchaînement de symétries.

La figure (à gauche) montre le réseau de ces axes après une dizaine d'itérations et fait apparaître leur courbure. Par contre après une centaine d'itérations, le réseau (à droite), nécessairement grossi, ressemble beaucoup à ceux déjà vus. Il en est de même dans le mode ORDRE et le mode IMAGE du même ensemble.

Bien entendu ces symétries non-orthodoxes ne produisent pas exactement les mêmes motifs répétitifs que les suites géométriques, mais très souvent la ressemblance est frappante.

La différence est surtout ailleurs. Dans notre transformation le cercle de rayon unité devient une (ou plusieurs) courbe compliquée (fractale). Les points intérieurs au cercle restent dans cette courbe mais s'en rapprochent assymptotiquement: il y a contraction vers le bord et expansion au centre. Ce n'est qu'en choisissant les coordonnées du déplacement dans une marge étroite qu'on obtient des images significatives . Dans ces cas bien choisis, le confinement (comme dans le cas de la sphère) et les déformations marginales contribuent à l'harmonie des images.

Alors que le choix du déplacement est assez critique, il est possible de choisir librement au préalable l'axe de symétrie, de modifier la formule de calcul, d'employer alternativement à chaque itération deux (ou plus) paramètres différents, etc... Les quelques images suivantes donnent une idée de la diversité des formes obtenues.

Les Images suivantes sont en mode "bas-relief", auquel on peut ajouter une texture.

D'autres images sont montées dans la galerie SC-FRA.

Contrairement aux images aléatoires du début, celles-ci demandent une recherche empirique des paramètres. Les choisir au hasard conduira presque toujours à un fond uniformément coloré ou chaotique. Il est souvent possible de découvrir ces paramètres à l'aide de l'équivalent en SC de l'ensemble de Mandelbrot. Les images produites sont dans les détails similaires au précédentes mais peuvent être plus harmonieuses sur de grandes zones à cause de la courbure des axes et des déformations marginales.

Comme tout ce qui précède appartient au domaine de la symétrie cellulaire, il est loisible de mélanger les genres!.. Par exemple le point ultime du calcul de chaque point d'une sphère peut être considéré comme un point de départ sur une même fractale. La sphère est ainsi décorée par un pavage continu de fractale.